Ключевые теги

Реклама

новости партнёров

Архив сайта

Реклама

Об одной поисковой стратегии для одномерной оптимизации без использования производной

Добавлено: 18-03-2016, 16:30     Автор: admin     Категория: Цены на нефть, Рейтинги регионов

Об одной поисковой стратегии для одномерной оптимизации без использования производнойСтатья опубликована в №21 (май) 2015 Разделы: , Размещена 10.05.2015. Последняя правка: 09.05.2015. УДК 519.6 Введение  . Обозначим   , а также   – начальное приближение к решению. Предположение 1.  . Т. е. до начала поиска известно, где относительно   . Несмотря на то, что такая постановка задачи кажется тривиальной и непрактичной, в действительности ряд технических приложений сводится к оптимизации подобного рода. Например, мощность потерь в векторно управляемом асинхронном электроприводе является выпуклой функцией от тока намагничивания ротора [1]. При этом заранее известно по характеристикам переходных процессов при изменении нагрузки, необходимо ли уменьшить или увеличить ток для достижения оптимума.

Аналогичная задача, известная как отслеживание точки максимальной мощности, возникает в преобразователях для солнечных панелей [2] или ветрогенераторов [3]. Целью статьи является разработка и анализ алгоритма минимизации скалярной функции, в условиях когда доступны только значения функции. Алгоритм отличается тем, что достигается непрерывная однонаправленная траектория поиска, а также простотой концепции и программной реализации. 1. Равномерное изменение аргумента  . Рассмотрим следующий прототип поискового алгоритма, состоящий из двух параллельно выполняющихся действий: 1. Линейно изменять аргумент   , где   – константа, знак которой выбран заранне так, что   ,  . 2. Если   , то прекратить поиск.

Здесь и далее мы будем описывать динамику алгоритма в непрерывном времени, предполагая что дискретизация может быть выполнена тривиально.  на точность определения точки минимума. Если   достаточно мало, то стандартным подходом является разложение функции   (с учетом, что   . . Таким образом, абсолютная ошибка определения минимума    .

2. Эффект численного дифференцирования В практических задачах оптимального управления значение показателя y является измеряемой физической величиной, в которой присутствует аддитивный шум. Поэтому для вычисления   используется фильтр верхних частот (ФВЧ), имеющий ограниченную полосу пропускания.  , полученная с помощью цифрового дифференцирования. Простейшим для анализа является фильтр первого порядка, описываемый в операторной области следующим образом  ,   .  ,  ,  – постоянная времени фильтра,   – переменная состояния. Известно, что аналитическое выражение реакции системы первого порядка на воздействие u(t) с нулевым начальным состоянием может быть записано в виде,  ,   для рассматриваемой системы.

Поскольку,   , то при квадратичной аппроксимации целевой функции, получаем. .  экспонента в первом слагаемом быстро стремится к 0, отсюда можно записать выражение для установившегося состояния  . Остановка поиска осуществляется, когда. Здесь следует сделать комментарий о природе погрешностей остановки поиска. При остановке согласно (1) по идеальной оценке производной   , ошибка возникает в результате того, что поиск заканчивается раньше времени, и значение   . При использовании ФВЧ для оценки производной   , возникает задержка между действительным значением   , в результате поиск останавливается с задержкой c   . Отсюда, погрешности, связанные с конечной точностью   и ограниченной полосой дифференциатора, должны быть взяты с разным знаком: 3. Ускорение сходимости слишком тривиальна и не учитывает ландшафта оптимизируемой функции. Для ускорения поиска предлагается использовать значение производной по времени, согласно измененному правилу: – некоторая константа. Поскольку погрешность установки точки минимума (3) зависит от скорости изменения аргумента x, то для обеспечения заданной точности поиска необходимо ограничить значение.

Заметим, что эта формула записана для случая, в противном случае, очевидно, операцию взятия минимума необходимо заменить на операцию взятия максимума. С другой стороны, для обеспечения безусловного прироста скорости сходимости, необходимо исключить случаи когда. 4. Алгоритм В этом параграфе мы сформулируем окончательный алгоритм для поиска минимума с учетом сказанного в предыдущих разделах. . Также используется дополнительный параметр – время, необходимое для определения в начальный момент, в течение которого выполняется безусловное изменение. Также промежуточная переменная используется для обозначения направления поиска. 1. Если  , то, иначе. 2. Пока. 3. Пока   3.1 Если     3.1.1 Если    , то, иначе с помощью фильтра верхних частот (2). 5. Анализ сходимости Поведение алгоритма может быть охарактеризовано с помощью следующей теоремы.

Теорема 1 . Если выполняются следующие условия: Доказательство. означает, что точка минимума, где остановка алгоритма невозможна. переходной процесс в фильтре оценки производной закончился, и отсюда. выпукла, то это означает, что на интервале убывает и, соответственно, значение. Отсюда, после перехода к динамике всегда существует момент времени, где и поиск всегда заканчивается линейным изменением аргумента. Таким образом, являющееся утверждением теоремы соотношение (3) всегда соблюдается в конечной фазе алгоритма. Что и требовалось доказать. С практической точки зрения условие (4) означает, что начальное приближение.

Удовлетворительной с инженерной точки зрения интерпретацией условия (5) является выбор. Моделирование Предложенный алгоритм был реализован в среде Matlab / Simulink. Для демонстрации работы алгоритма на рисунке 1 представлены результаты применения алгоритма к тривиальной функции. Алгоритм завершил работу в точке x = 0,0395; y = 0,0016. Также для тестирования была использована функция с более сложным ландшафтом, график которой приведен на рисунке 2: Функция имеет минимум в точке x = 6,4073 где y = -0,3336. На рисунке 3 представлены результаты применения алгоритма для данной функции. Алгоритм завершил работу в точке x = -0,3332; y = 6,3953.

= 0,  = 0.2, c = 1, k = 0.5,   = 10, = 0.1. Заключение В настоящей работе был рассмотрен алгоритм поиска локального экстремума скалярной функции, не использующий информацию о производной. Метод выгодно отличается тем, что траектория аргумента в процессе поиска непрерывна и не меняет своего направления, что важно в применении к задачам оптимального управления [4-5]. Алгоритм сформулирован в непрерывном времени, приведен анализ точности и его сходимости. Результаты работы алгоритма продемонстрированы с помощью моделирования в системе Matlab. Реализованные модели алгоритма в Simulink можно скачать по ссылке: https://sites. google.

com/site/akpc806a/Ramp_optimization_post. rar? attredirects=0&d=1 1. Энергосберегающее векторное управление асинхронными электродвигателями: обзор состояния и новые результаты: Монография / А. В. Борисевич. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2015. - 104 с 2. Salas V. et al. Review of the maximum power point tracking algorithms for stand-alone photovoltaic systems // Solar energy materials and solar cells. – 2006.

– Т. 90. – №. 11. – С. 1555-1578. 3. Abdullah M. A. et al. A review of maximum power point tracking algorithms for wind energy systems // Renewable and Sustainable Energy Reviews. – 2012. – Т. 16. – №. 5. – С. 3220-3227.

4. Нестеров Ю. Е. Введение в выпуклую оптимизацию. М.: МЦНМО, 2010. 280 с 5. Rios L. M., Sahinidis N. V. Derivative-free optimization: A review of algorithms and comparison of software implementations // J. Global Optim., 2013. No. 56. P. 1247–1293. Рецензии: 20.06.2015, 21:35 Рецензия : Индекс УДК, пожалуй, следует детализировать.

Рекомендуется к печати. Комментарии пользователей:

Комментариев: 0   Просмотров: 26
[rating]
[/rating]

Видео-бонус:

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.
rss
Карта